. Составим
Sn=
ak- частичная сумма, 
и
рассмотрим 
ak - числовой
ряд. ak=S.
N и
"m>0. 
0 при n
. . N и "m>0.=>
|an+1|= | Sn+m-Sn|<e
для "n N=> an0 при n. n
ak=rn- n-й остаток ряда.
Т.к. rn+m-rn=
ak=Sn+m-Sn, то необходимым и достаточным признаком
сходимости числового ряда является стремление |rn|0
при n.
Доказательство.
Необходимость. Если ряд сходится, то
|rn|=|S-Sn| 0.
Достаточность.
|Sn+m-Sn|=|ak|=|rn+m-rn|. Пусть |rn|0 => Для "e>0 $ N(e ): |rn|<e /2 для "n
N=>|rn+m|<e /2 для "nN и "m>0
=>|Sn+m-Sn|=|rn+m-rn|<e => ряд
сходится.n
Определение. Если |ak|< (сходится) , то ряд называется абсолютно
сходящимся.
Очевидно, что если
ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно.
Например, ряд (-1)k/k сходится, тогда как
ряд 1/k- расходится,
Достаточными критериями абсолютной сходимости
рядов являются признаки Даламбера и Коши.
Признак
Даламбера. Если начиная с некоторого номера N выполняется
неравенство |an+1/an|
L<1 для
"nN, то ряд |ak| сходится.
Если начиная с некоторого N
|an+1/an| 1 для "nN, то ряд ak расходится.
Признак Даламбера в
предельной форме.
Если $ 
|an+1/an|=L, то при
L<1 ряд |ak| сходится, при L>1 рядak расходится,при L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L<1, то $e>0: L<1-2e =>L+e <1-e. Т.к. $ |an+1/an|=L,
то $ N:
L-e
<|an+1/an|< L+e <1-e =q<1, для " nN
=>|an+1|<|an|q<┘<|aN|qn+1-N,
т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со
знаменателем q<1.n
Аналогично доказывается расходимость ряда при
L>1.
Признак Коши.
Если начиная с некоторого N Если ряд сходится в g, то "e>0 $ N(e,z): | rn(z)|
<e для "n Необходимый и достаточный признак
сходимости: Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости- критерий Коши: Достаточный
признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак
Вейерштрасса). 
L<1 для
"nN, то ряд |ak| сходится.
Если начиная с некоторого N 1 для
"nN, то ряд ak расходится.
Признак Коши в
предельной форме.
Если $ =L, то при L<1 ряд |ak| сходится,при L>1 рядak расходится,при L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L<1, то $e>0: L<1-2e =>L+e <1-e. Т.к. $=L, то $N:
L-e <<L+e <1-e
=q<1, n N,
q<1=>|an|<qn, т.е.
ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1.n
Аналогично доказывается расходимость ряда при
L>1.
2. Понятие функционального
ряда.
Пусть дана
последовательность 
, z
g.
Выражение uk(z)- называется функциональным рядом, заданным в
g.
Определение.Если при " zg, соответствующий числовой ряд сходится к определенному
комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется
суммой функционального ряда, а
сам ряд называется сходящимся в g.
N(e ,z).
Критерий Коши:
для "e>0 $ N(e ,z): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "nN
и "m>0.
Вообще говоря, в каждой точке zg N свое: N=N(e ,z) и общего N для всей z может и не существовать.
3. Равномерная сходимость еun(z) в области g.
Если для "e>0 $ N(e) что | rn(z)| <e для "nN(e) и
" z одновременно,
то ряд .uk(z) называется равномерно сходящимся к
функции f(z) в g.
Обозначение: uk(z)=>f(z).
Понятие равномерной сходимости-глобальное.
Если
для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "nN
и "m>0 и " z одновременно, то ряд .uk(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд uk(z) сходится равномерно к f(z): "e >0 $ N(e) что
|f(z)-Sn(z)| <e /2 для "nN(e) и "zg => и
подавно |f(z)-Sn+m(z)| <e /2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)| <e
для "nN и "m>0 и "zg.
Достаточность. Пусть для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e (*) для "nN
и "m>0 и "zg => в
"zg выполнен критерий Коши для числового
ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g
определена f(z)=uk(z). Переходя в (*) к
пределу при m получим |f(z)-Sn(z)|e для "nN(e) и "zg => |rn(z)| <e для "nN(e) и
"zg. n
Если
|uk(z)|<ak, ak>0 для "kN и
"zg и ak< (сходится), то uk(z)=>f(z)
в g.
Доказательство. |rn(z)|
=|uk(z)||uk(z)|<ak<e для "nN(e) и
"zg. n
4.
Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы. Возможность
почленного интегрирования.
Теорема Вейерштрасса. II теорема
Вейерштрасса.
Свойства равномерно
сходящихся рядов:
1) Пусть
uk(z)С(g) и uk(z)=>f(z), тогда f(z)С(g).
Доказательство. |D
f|=|f(z+D z)-f(z)||f(z+D
z)-Sn(z+D z)|+|Sn(z+D z)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)|? e /3+e /3+e /3=e для |D z|<d , nN.n
2). Пусть
uk(z)С(g) и uk(z)=>f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур Cg конечной длины L: 
ds=L, тогдаf(z)dz= uk(z)dz.
Доказательство |f(z)dz- uk(z)dz |=|
rn(z)dz | |
rn(z) | ds<e 'L<en
3) Теорема Вейерштрасса. Если uk(z)C(g)
и uk(z)=>f(z), для
"z"
'
g,
(для любой замкнутой подобласти области g)
то:
1. f(z)C(g).
2. f(p)(z)=uk(p)(z), для
"z g.
3. uk(p)(z)=>f(p)(z), для "z"' g.
Доказательство
1. Рассмотрим " 'g и
C- замкнутый контур: С', стягивающийся в точку
z'. Т.к. uk(z)C(g)
и uk(z) равномерно сходится к f(z) для "z',
то f(z) непрерывна в ' (по свойству 1). По свойству 2 uk(z)dz= (по теореме Коши) =0=0.
Тем самым выполнены условия теоремы Морера => f(z)C ('). => в силу
произвольности ' => f(z)C(g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)-
Sn(z) => rn(z)C (g).
2. Рассмотрим "'g и C- замкнутый
контур: С',
стягивающийся в точку z'. Т.к. f(z)C(g),
то f(p)(z)=
. =(по теореме 8.4) =(т.к.uk(x )|xC=>f(x )|xC
=>
)=
= uk(p)(z).
Замечание.
rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)=uk(p)(z).
3. Рассмотрим "'g и C- замкнутый
контур, содержащий ' внутри, и такой, что для"z' и "x С
выполнено неравенство |z-x|>d0.
Тогда rn(p)(z)=
.
|rn(x )|<e', n> N(e') (т.к. C граница замкнутой
подобласти ''g).
|rn(p)(z)|
<e для "z'
одновременно => uk(p)(z)=>f(p)(z), для "z"' g.n
Замечание. Даже если uk(z)=>f(z) при z, то
все равно мы можем доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в
любой замкнутой подобласти 'области g. Т.е.uk(p)(z)=>f(p)(z), лишь для "z"'g. Из равномерной сходимости ряда uk(z)=>f(z) zне следует! равномерная
сходимость в этой области ряда составленного из производных.!
Пример. Рядzk/k2
сходится равномерно в круге |z| 1, а ряд
из производных zk-1/k
не может равномерно сходится в круге |z|1 , т.к.
он расходится при z=1. Ряд zk-1/k равномерно сходится при |z|<1.
II Теорема
Вейерштрасса. Пусть
uk(z)C() и uk(x )=>f(x ), для xg.
Тогда uk(z)=>f(z), z.
Доказательство |Sn+m(x )-Sn(x )| <e для "xg
=> |Sn+m(z)-Sn(z)| <eдля "z √ в
силу принципа максимума.) n
| Назад | Вверх | Вперед |